Cuando estamos aprendiendo la tabla de derivadas y llegamos a las trigonométricas, erróneamente creemos que llegamos a las derivadas más complejas. En realidad, estas derivadas son muy sencillas de entender, en especial la derivada de la arcotangente.
Si sabemos diferenciar el argumento de una función arcotangente no tendremos ningún inconveniente en derivarla. Solo debemos derivar el argumento y dividirlo entre la suma de uno con el cuadrado del argumento.
SOLUCIÓN y fórmula de la derivada de la arcotangente
f(x) = \arctan (u)
f'(x)= \frac{u'}{1 + u^2}Cómo hacer la derivada de la función arcotangente
Si ponemos atención a la fórmula anterior sabemos que debemos crear una fracción para resolverla. En ella, en el numerador va la derivada del argumento de la arcotangente y en el denominador va la suma de uno con el argumento al cuadrado.
Ahora pasemos a algunos ejemplos para complementar lo explicado.
Ejemplos y ejercicios resueltos de derivadas de arcotangente (con demostración)
Ejemplo 1:
\arctan (3x^2)
Igualamos el argumento de la función arcotangente a «u» y lo derivamos, como lo hacemos a continuación:
u= 3x^2
u' = 6x
Sustituimos «u» y su derivada en la fórmula de la derivada de la arcotangente.
f'(x)= \frac{u'}{1 + u^2}f'(x)= \frac{6x}{1 + (3x^2)^2} = \frac{6x}{1 + 9x^4}Ejemplo 2:
f(x)=\arctan (\sqrt{x})Igualamos el argumento a «u» y lo derivamos.
u = \sqrt{x}u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}f'(x)=\frac{\frac{1}{2\sqrt{2}}}{1 + (\sqrt{x})^2}= \frac{1}{(2\sqrt{2})(1+x)}Ejemplo 3:
f(x)=\arctan (\ln(x))
Igualamos el argumento a «u» y lo derivamos.
u= \ln (x)
u'= \frac{1}{x}Sustituimos en la fórmula:
f'(x)= \frac{u'}{1 + u^2} = \frac{\frac{1}{x}}{1+(\ln(x))^2} = \frac{1}{x(1+ln^2(x))}Ejemplo 4:
f(x)=\arctan (x^2)
u = x^2
u' = 2x
f'(x)= \frac{u'}{1 + u^2}= \frac{2x}{1 + (x^2)^2} = \frac{2x}{1 +x^4}Si deseas ampliar tus conocimientos, te invitamos a que revises nuestra tabla de derivadas. Igualmente puedes ampliar tus conocimientos revisando:
Las Derivadas trigonométricas:
Las Derivadas trigonométicas inversas: