Los logaritmos son una de las funciones más utilizadas en el campo matemático, y por ende una derivada logarítmica es una de las fórmulas más relevantes. Pero para resolverla es importante tener en cuenta que las derivadas logarítmicas se dividen en dos tipos: logaritmo natural (neperiano) y logaritmo de cualquier base, siendo este último el que aquí te vamos a contar.
Derivada del logaritmo de cualquier base
La resolución de una derivada de cualquier base (de base 10, por ejemplo) responde a una fórmula basada en una fracción y se ampara en esta igualdad:
log_a x=\frac {lnx} {lna}SOLUCIÓN de la derivada de un logaritmo
\log _{a}' x = \frac {x'} {xln(a)}
Veamos ahora como se obtiene dicho resultado.
Comenzamos derivando la expresión de partida:
log_a x=\frac {lnx} {lna}Siendo la derivada:
\frac{d}{dx} log_a x=\frac{d}{dx}[\frac{ln x}{ln a}]=\frac{1}{lnx}\frac{d}{dx}[lnx]=\frac{1}{lna}\frac{1}{x}Y aplicando la regla de la cadena
\frac{d}{dx} log_a u(x)=\frac{u´}{u\cdot ln(a)}Pasos para resolver una derivada de logaritmo de cualquier base
Para que puedas resolver la derivada de un logaritmo te aconsejamos seguir los siguientes pasos para aplicar la fórmula obtenida anteriormente:
- Paso 1: En el numerador colocar la derivada del argumento. Recuerda, el argumento es todo aquello sobre lo que aplica el logaritmo (te aconsejamos abrir un paréntesis justo después de escribir «log», así evitarás seleccionar erróneamente el argumento)
- Paso 2: En el denominador colocar el argumento del logaritmo multiplicado por el logaritmo natural de la base (el logaritmo natural de la base es ahora una constante).
- Paso 3: simplificar la fracción hasta el mínimo.
Ejemplos y ejercicios de derivada de logaritmo de cualquier base
Ejemplo 1:
f(x)= log _{3} (4x)
f'(x)= \frac {(4x)'} {4x\cdot ln(3)} = \frac {4}{4x\cdot ln(3)} = \frac {1}{x\cdot ln(3)}
Ejemplo 2:
f(x)= log _{2} (3x + 2)
f'(x)= \frac {(3x +2)'}{(3x+2)ln(2)} = \frac {3}{(3x+2)ln(2)}
Y si quieres saber más consulta nuestra completa tabla de derivadas con ejemplos.