Derivada de logaritmo natural

La derivada de un logaritmo natural o logaritmo neperiano es una variante de la derivada de un logaritmo de cualquier base. En este caso, la base del logaritmo es el número de Euler, e:

log_ex=lnx

SOLUCIÓN de la derivada de un logaritmo neperiano

f(x)=ln x
f´(x)=\frac{u´}{u}

De derivar una función logarítmica se crea una fracción, en el numerador va la derivada del argumento y en el denominador va el argumento. Así como se muestra a continuación

Pasos para resolver una derivada de logaritmo natural

Resolver una derivada de logaritmo natural es aún más fácil si se siguen estos pasos:

  • Paso 1: Colocar en el numerador (parte de arriba de la fracción) la derivada del argumento. No olvides que el argumento es todo aquello sobre lo que aplica el logaritmo neperiano (todo lo que está después de «ln»).
  • Paso 2: Colocar en el denominador (parte de abajo de la fracción) el argumento.
  • Paso 3: Finalmente simplificamos la fracción hasta su mínima expresión.

Ejemplos y ejercicios de derivada de logaritmo natural

Para entender mejor los pasos anteriores recomendamos ver los siguientes ejemplos y ejercicios resueltos.

Ejemplo 1:

f(x)=ln((x-2)^9)

En este problema podemos usar la propiedad logarítmica en la que el exponente del argumento pasa a ser el coeficiente del logaritmo, tal como los describimos aquí:

 \ln (a^b) = b\ln a

NOTA: puedes comenzar a derivar sin utilizar la propiedad anterior, sin embargo, haciendo el uso de dicha propiedad hará que tus cálculos sean más sencillos de realizar.

f(x)= 9ln((x-2))

Hemos conseguido una expresión que se puede derivar con mayor facilidad, y todo gracias a que conocemos las propiedades logarítmicas. Sigamos con la derivación.

f´(x)= 9ln((x-2))´ = [9 \frac{(x-2)´}{x-2}]= 9\frac{1}{x-2} = \frac {9}{x-2}

Ejemplo 2:

f(x)=ln(\frac {x^2-2} {x+3})

En esta expresión también podemos usar una propiedad logarítmica antes de iniciar con la derivación:

ln (\frac {a}{b}) = ln (a) - ln (b)

Usando esta propiedad obtendremos una expresión más sencilla de derivar:

f(x) = ln(x^2-2) -  ln(x+3)
f´(x) = \frac{(x^2-2)´}{(x^2-2)} -  ln\frac{(x+3)´}{(x+3)} = \frac{2x}{x^2-2}  - \frac{3}{x+3}

Y si quieres aprender más consulta nuestra completa tabla de derivadas con ejercicios resueltos.

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