La fórmula de la derivada de un producto de funciones es una de las fórmulas más fáciles de aprender de la tabla de derivadas. Un producto de funciones tiene la siguiente nomenclatura:
f(x) = u(x) \cdot v(x) = u \cdot v
Solución y fórmula de la derivada del producto de funciones
La solución de la derivada del producto de funciones consiste en multiplicar una función u(x) por la derivada de una función v(x) y el resultado sumarlo a la multiplicación de la función v(x) por la derivada de una función u(x). Seguramente verlo de esta forma pueda resultar un poco complejo, así que veamos la fórmula de la derivada directamente.
f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + v'(x) \cdot u(x) = u' \cdot v + v' \cdot u
Fórmula de la derivada del producto de funciones
Cómo hacer la derivada del producto de dos funciones paso a paso
Paso 1:
Lo primero es clasificar o nombrar las funciones que se plantean en el problema. Es decir, tomamos una de las funciones y la nombramos u(x). La otra función la nombramos v(x).
Paso 2:
Luego debemos proceder a derivar ambas funciones, así obtendremos u'(x) y v'(x).
Paso 3:
Sustituimos cada función y su derivada en la fórmula de la derivada de un producto. Finalmente, resolvemos las operaciones matemáticas generadas por la sustitución y listo.
Para entender estos pasos lo mejor es seguir unos ejemplos, por ello te mostramos a continuación una serie de ejercicios resueltos de este tipo de derivación con explicación.
Ejemplos y ejercicios resueltos de derivadas de un producto
Comenzamos con ejercicios básicos de derivadas de funciones que se multiplican cuya complejidad irá aumentando conforme avancen los ejemplos.
Ejemplo 1:
f(x) = (x^2 - 1)(x^3 + 3x)
Nombramos cada función y derivamos ambas para sustituirlas en la fórmula de la derivada.
u(x) = x^2 - 1
u'(x) = 2x
v(x) = x 3 +3x
v'(x) = 3x^2 + 3
Antes de seguir, recordemos que la fórmula de la derivada del producto es la siguiente:
f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + v'(x) \cdot u(x) = u' \cdot v + v' \cdot u
Sustituyamos entonces cada función y su derivada para obtener el resultado.
f'(x) = u' \cdot v + v' \cdot u = (2x)(x^3 + 3x) + (3x^2 + 3)(x^2 - 1)
f'(x)= (2x^4 + 6x^2) + (3x^4 - 3) = 5 x^4 + 6 x^2 - 3
f'(x)= 5 x^4 + 6 x^2 - 3
Ejemplo 2:
f(x) = (5x^2 - 3)(x^2 + x + 4)
Nombramos cada función.
u(x) = 5x^2 - 3
u'(x) = 10x
v(x) = x^2 + x + 4
v'(x) = 2x + 1
Sustituimos cada función y su derivada en la fórmula.
f'(x) = u' \cdot v + v' \cdot u = (10x)(x^2 + x + 4) + (2x + 1)(5x^2 - 3)
f'(x) = u' \cdot v + v' \cdot u = (10x^3 + 10x^2 + 40x) + (10x^3 + 5x^2 - 6x - 3)
f'(x) = u' \cdot v + v' \cdot u =20x^3 + 15x^2 + 34x - 3
Ejemplo 3:
f(x) = 3^{2x^{2}} \cdot \sqrt{x}u(x) = 3^{2x^{2}} u'(x) = 3^{2x^{2}} \cdot \ln{(3)} \cdot 4x v(x) = \sqrt{x}\displaystyle v'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}Sustituimos cada función y su derivada en la fórmula.
f'(x) = u' \cdot v + v' \cdot u \\
f'(x) = ( 3^{2x^{2}} \cdot \ln{(3)} \cdot 4x ) (\sqrt{x}) + (\frac{1}{2 \sqrt{x}}) (3^{2x^{2}})\\ f'(x)= (3^{2x^{2}}) ( \ln{(3)} \cdot 4x \cdot \sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) Ejemplo 4:
f(x)= (2x^3 – 4x^2)\cdot (3x^5 + x^2)
u(x) = 2x^3 – 4x^2
u'(x)=6x^2 - 8x
v(x)=3x^5 + x^2
v'(x) = 15x^4 + 2x
f'(x) = u' \cdot v + v' \cdot u = (6x^2 - 8x)(3x^5 + x^2)+(15x^4 + 2x)(2x^3 – 4x^2)
f'(x) = 18x^7+6x^4-24x^6 - 8x^3+30x^7-60x^6+4x^4-8x^3
f'(x) = 48x^7-84x^6+10x^4 -16x^3
Si deseas ampliar tus conocimientos, te invitamos a que revises nuestra tabla de derivadas.