Derivada de la función exponencial de base e

Para hacer la derivada de la función exponencial de base e hay que multiplicar la función sin derivar por la derivada de su exponente. Se trata de una fórmula simple de fácil aplicación:

SOLUCIÓN y fórmula de la derivada de una función exponencial de base e

f(x)= e^u
f'(x)=u'\cdot e^u

Cómo hacer la derivada exponencial de base e

Para hacer la derivada exponencial de base e hay que multiplicar la función sin derivar por la derivada de su exponente. Es una forma tan simple de derivar que probablemente en dos o tres pasos consigamos el resultado.

No obstante es importante señalar que en este tipo de derivada hay un caso particular, y es el siguiente:

Derivada de e elevado a x

f(x)= e^x

Donde:

u= x 
u'=1
e ^u= e^x 

Recordemos la fórmula de la derivada de una función exponencial de base «e»:

f'(x)=u'\cdot e^u

Entonces al sustituir nos quedaría:

f'(x)= 1\cdot e^x= e^x

Por ende, siempre que consigamos una función exponencial «e» con exponente «x» tendremos de resultado la base «e» elevado al exponente «x».

Es decir, siempre el resultado de «e» elevado a la «x» es «e» elevado a la «x». Dejando esto claro, pasemos a ver algunos ejemplos.

Ejemplos y ejercicios resueltos de derivadas de funciones de base e

Para entender como se resuelven las derivadas de funciones de base e resolvemos a continuación algunos ejercicios y ejemplos que faciliten la comprensión:

Ejemplo 1: derivada de e elevado a 3 menos x al cuadrado

f(x)= e^{3-x^2}
  u=3-x^2
 u'=-2x
e ^u =  e^{3-x^2}

Sustituimos en la fórmula y obtenemos el resultado.

f'(x)=u'\cdot e^u =-2x\cdot e^{3-x^2}

Ejemplo 2: derivada de e elevado a x más e elevado a menos x partido por 2

 f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}

Notemos que este caso en particular es una suma de funciones, así que separamos ambas funciones para derivar de forma individual.

 f(x)= \frac{e^x+e^{-x}}{2} =\frac{e^x}{2} + \frac{e^{-x}}{2}

Derivamos entonces ambas funciones.

u= x
v = -x
u'= 1
v' = -1
e^u _1 = \frac{e^x}{2}
e^u _2 = \frac{e^{-x}}{2}
f'(x)= u'\cdot e^u_1 + v'\cdot e^u_2  = \frac{1\cdot e^x}{2} + \frac{-1\cdot e^{-x}}{2}=\frac{e^x}{2} - \frac{e^{-x}}{2}= \frac{e^x-e^{-x}}{2}

El resultado lo podemos simplificar y quedaría así:

f'(x)=\frac{e^x}{2} + \frac{-e^{-x}}{2}=\frac{e^x}{2} - \frac{1}{2e^x}

Ejemplo 3: derivada de e elevado a 2x dividido por x al cuadrado

 f(x)=\frac{ e^{2x}}{x^2}

Tenemos un cociente, es decir una fracción, entonces primero debemos aplicar la fórmula de derivada de una división:

f'(x)=\frac{u'\cdot v -u\cdot v'}{v^2}

Derivada de un cociente.

u= e^{2x}
 u'= 2e^{2x}
v=x^{2}
 v'=2x
f'(x)=\frac{2e^{2x}\cdot x^2 -e^{2x}\cdot 2x}{x^4} 

Aplicamos factorización y simplificamos el resultado a su mínima expresión:

f'(x)=\frac{2x e^{2x}(x -1)}{x^4} = \frac{2 e^{2x}(x -1)}{x^3}

Ejemplo 4: derivada de e elevado a 1 partido de x

 f(x)=e^{ \frac{1}{x}}
 u= \frac{1}{x}= x^{-1}

Si subimos «x» desde el denominador al numerador, el signo de su exponte pasa a negativo. Esto lo hicimos para simplificar los pasos. Ahora procedemos a derivar «u».

 u'= -1x^{-1-1}= -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}

Sustituimos en la fórmula principal:

 f'(x)=u'\cdot e^u  = -\frac{1}{x^2}\cdot e^{ \frac{1}{x}} = -\frac{e^{ \frac{1}{x}}}{x^2}

Ejemplo 5: derivada de x al cubo por e elevado a menos 3x

f(x)=x^3\cdot e^{-3x}

Se trata de un producto de funciones:

f(x)=u\cdot v

Donde:

u= x^{3}
u'= 3x^2  
v=e^{-3x}
 v'= -3e^{-3x}

Teniendo cada variable y su derivada, procedemos a sustituir.

 f'(x)=u'\cdot v+u\cdot v' = 3x^2 \cdot e^{-3x} +x^{3} \cdot \left(-3e^{-3x}\right) 

Hacemos factorización y simplificamos el resultado hasta su mínima expresión:

f'(x)=3x^2  e^{-3x} (1-x)

Ejemplo 6: derivada de e elevado a 2x dividido por la raíz cuadrada de x

f(x)=\frac{ e^{2x}}{\sqrt{x}}

Aquí tenemos otra función cociente, así que debemos usar la derivada de un cociente:

f'(x)=\frac{u'\cdot v -u\cdot v'}{v^2}
u= e^{2x}
u'= 2e^{2x}
v=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}
 v'= \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} =\frac{1}{2\sqrt{x}}

Sustituimos y obtenemos:

f'(x)=\frac{u'\cdot v -u\cdot v'}{v^2}=\frac{2e^{2x}\cdot \sqrt{x} -e^{2x}\cdot \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}{x} 
f'(x)=\frac{\frac{4xe^{2x}-e^{2x}}{2\sqrt{x}}}{x} =\frac{4xe^{2x}-e^{2x}}{2x\sqrt{x}} =\frac{e^{2x}(4x-1)}{2x\sqrt{x}}

Si deseas ampliar tus conocimientos, te invitamos a que revises nuestra tabla completa de derivadas.

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